Question

（2012•江西模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，1）是增函數(shù)；
（2）求證：0≤a_n+1＜a_n＜1；
（3）若a1=

2

2

，求證：an≤

1

2n

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由于x∈（0，1）時(shí)，f'（x）=1-cosx＞0恒成立，可得函數(shù)f（x）在（0，1）是增函數(shù)．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明0≤a_n+1＜a_n＜1成立．
（3）先用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性證明 an+1＜

an2

2

，再證明a₁=

2

2

 時(shí)，a_n≤

1

2n

，由此即可證得
結(jié)論．

解答：證明：（1）∵x∈（0，1）時(shí)，∴f'（x）=1-cosx＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）是增函數(shù)．…（3分）
（2）∵a₂=f（a₁）=a₁-sina₁，∴a₂-a₁=-sina₁ ．
∵0＜a₁＜1，∴a2＜a1，∴six＜x 恒成立．…（5分）
1當(dāng)n=1時(shí)，0＜a₁＜a₂＜12 命題成立．
3假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即0≤a_k+1＜a_k＜14，
∵0=f（0）＜f（x）＜f（1）=1-sin1＜1恒成立，…（8分）
∴f（0）＜f（a_k+1）＜f（a_k）＜f（1），即 0≤a_k+2＜a_k+1＜1-sin1＜1，
故當(dāng) n=k+1時(shí)，命題成立．
根據(jù)①②可知對(duì)于任意n∈N*命題0≤a_n+1＜a_n＜1均成立；
（3）證明：先證明 an+1＜

an2

2

，即證 a_n+1-

an2

2

=a_n-sina_n-

an2

2

＜0，a_n∈（0，1）．
令∅（x）=x sinx-

x2

2

，x∈（0，1），則∅′（x）=-x+1-cosx．
再令g（x）=∅′（x），則g′（x）=-1+sinx≤0，故g（x）=∅′（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
故∅′（x）＜∅′（0）=0，故∅（x）在（0，1）上是減函數(shù)，故∅（x）＜∅（0）=0 恒成立．
再由a_n∈（0，1），∅（a_n）＜0，即 a_n-sina_n-

an2

2

＜0，故有 an+1＜

an2

2

．
再證明a₁=

2

2

 時(shí)，a_n≤

1

2n

．
由 an+1＜

an2

2

 可得

an+1

an

＜

an

2

． 再由a_n＜a_n-1＜a_n-2＜…＜a₂＜a₁，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁•

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

＜a₁•

a2

2

•

a3

2

…

an

2

＜a₁•

a1

2

•

a1

2

…

a1

2

 
=

a1n

2n-1

=

( 2 2 )n

2n-1

＜

1 2

2n-1

=

1

2n

，
即 a_n＜

1

2n

． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)列與函數(shù)的綜合，用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于難題．