Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率為

6

3

，橢圓C上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx-2與橢圓C交與A，B兩點，點P（0，1），且|PA|=|PB|，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義首先求得橢圓的短半軸，進而根據(jù)離心率求得橢圓的半焦距，根a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓方程可得．
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)直線與橢圓的兩個交點判斷出判別式大于0，求得k的范圍，設(shè)A，B的坐標(biāo)，則根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂，x₁x₂的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得y₁+y₂的表達(dá)式，進而可表示出AB中點的坐標(biāo)，根據(jù)|PA|=|PB|推斷出PE⊥AB，可知k_PE•k_AB=-1，求得k，則直線方程可求得．

解答：解：（Ⅰ）由已知2a=6，

c

a

=

6

3

，
解得a=3，c=

6

，
所以b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

x2 9 + y2 3 =1 y=kx-2

得，（1+3k²）x²-12kx+3=0，
直線與橢圓有兩個不同的交點，所以△=144k²-12（1+3k²）＞0，
解得k2＞

1

9

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

12k

1+3k2

，x1x2=

3

1+3k2

，
計算y1+y2=k(x1+x2)-4=k•

12k

1+3k2

-4=-

4

1+3k2

，
所以，A，B中點坐標(biāo)為E(

6k

1+3k2

，-

2

1+3k2

)，
因為|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，k_PE•k_AB=-1，
所以

- 2 1+3k2 -1

6k 1+3k2

•k=-1，
解得k=±1，
經(jīng)檢驗，符合題意，
所以直線l的方程為x-y-2=0或x+y+2=0．

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系．涉及直線與圓錐曲線關(guān)系時，常需要把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理來解決問題．