Question

（本小題滿分13分）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)時(shí)，車流速度是車流密度的一次函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；

（Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：

輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時(shí)）

 

Answer 1

（1） =； （2） 當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)．

【解析】

試題分析： （1）本題是一個(gè)分段函數(shù)，當(dāng)車流量小于等于20時(shí)，速度為60千米/小時(shí)，當(dāng)車流量大于20時(shí)小于或等于200時(shí)通過兩端點(diǎn)解出一次函數(shù)的解析式．（2）通過計(jì)算分段函數(shù)一個(gè)是一次函數(shù)，一個(gè)是二次函數(shù)來確定最大值．本題屬于分段函數(shù)的應(yīng)用，這類應(yīng)用題關(guān)鍵就是審清題意．分段函數(shù)的最大值是分別求出各段函數(shù)的最大值，再求出總的最大值．

試題解析：（Ⅰ）由題意：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然在是減函數(shù)，由已知得，解得

故函數(shù)的表達(dá)式為= 6分

（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得 8分

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．

所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值． ．12分

綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值，

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，

最大值約為3333輛/小時(shí) ．．．13分

考點(diǎn)：函數(shù)的應(yīng)用問題．