Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率為

3

2

，過(guò)F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸、短軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)P作與l垂直的直線m，設(shè)m與y軸的交點(diǎn)為B，求證：△PAB的外接圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）將x=-c代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=±

b2

a

．由題意知2

b2

a

=1，e=

c

a

=

3

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀）．聯(lián)立

y=kx+y0-kx0 x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8（ky₀-k²x₀）x+4（y02-2kx₀y₀+k²x02-1）=0，由此能證明△PAB的外接圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

解答： （1）解：由于c²=a²-b²，
將x=-c代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=±

b2

a

．
由題意知2

b2

a

=1，即a=2b²，
又e=

c

a

=

3

2

，∴a=2，b=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），
則直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀）．
聯(lián)立

y=kx+y0-kx0 x2 4 +y2=1

，
整理得（1+4k²）x²+8（ky₀-k²x₀）x+4（y02-2kx₀y₀+k²x02-1）=0．
由題意△=0，即（4-x02）k²+2x₀y₀k+1-y02=0．
又

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，∴16y02k²+8x₀y₀k+x02=0，∴k=-

x0

4y0

．
所以直線l方程為

x0x

4

+y0y=1，令x=0，解得點(diǎn)A(0，

1

y0

)，
又直線m方程為y=

4y0

x0

x-3y0，令x=0，解得點(diǎn)B（0，-3y₀），
△PAB的外接圓方程為以AB為直徑的圓方程，即x2+(y-

1

y0

)(y+3y0)=0．
整理得：x2+y2-3+y(3y0-

1

y0

)=0，分別令

x2+y2-3=0 y=0

，
解得圓過(guò)定點(diǎn)(±

3

，0)．
∴△PAB的外接圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（±

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形的外接圓過(guò)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運(yùn)用．