設函數(shù)
(Ⅰ)當m=3時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有三個不相同的零點0,α,β(α<β),且對任意的x∈[α,β],都有不等式f(x)≥f(1)成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(I)根據(jù)曲線的解析式求出導函數(shù),把P的橫坐標代入導函數(shù)中即可求出切線的斜率,根據(jù)P的坐標和求出的斜率寫出切線的方程即可;
(II)本小題利用導數(shù)來研究恒成立問題.先求出f(x)的導數(shù),根據(jù)f′(x)>0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間,f′(x)<0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間,利用單調性結合函數(shù)的圖象研究函數(shù)f(x)的零點分布問題,最后轉化為一個一元二次方程的根的分布問題.
解答:解:(Ⅰ)當m=3時,,則f'(x)=x2-6x+5.
又∵
∴切點為,切線斜率為-3
故切線方程為
即切線方程為9x+3y-20=0.
(Ⅱ)f'(x)=x2-2mx+m2-4,故令f'(x)=0,可得x=m-2,或x=m+2.
當x∈(-∞,m-2)時,f'(x)>0,故f(x)在區(qū)間(-∞,m-2)上遞增.
當x∈(m-2,m+2)時,f'(x)<0,故f(x)在區(qū)間(m-2,m+2)上遞減.
當x∈(2+m,+∞)時,f'(x)>0,故f(x)在區(qū)間(2+m,+∞)上遞增.
由于函數(shù)f(x)有三個不同的零點0,α,β(α<β),且,∴
解得m∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4)
①當m∈(-4,-2)時,m-2<m+2<0,故α<m-2<β<m+2<0
由f(1)>f(α)=0,可知此時不存在符合條件的實數(shù)m.
②當m∈(-2,2)時,③m-2<0<m+2,故α<m-2<0<m+2<β.
由于f(x)在區(qū)間[α,β]內的最小值為f(m+2),
∴只要f(m+2)=f(1).就有x∈[α,β]時,總有f(x)≥f(1)成立.
∴只要m+2=1,∴m=-1.
③當x∈(2,4)時,0<m-2<m+2,故0<m-2<α<m+2<β.用與②相同的方法,
可得m+2=1,即m=-1,但-1∈(2,4),此時不存在符合條件的實數(shù)m
綜上可知,實數(shù)m的值為-1.
點評:本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)單調性的應用、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、不等式的解法等基礎知識,考查運算求解能力與轉化思想、分類討論思想.
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