Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=2x²（x-a）．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上最小值h（a）；
（2）對（1）中的h（a），若關于a的方程h（a）=k（a+1）有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若點A（a₁，h（a₁）），B（a₂，h（a₂）），C（a₃，h（a₃）），從左到右依次是函數(shù)y=h（a）圖象上三點，且這三點不共線，求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=6x²-4ax=6x（x-

2

3

a），令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

a．由此根據(jù)a的取值范圍進行分類討論，能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．
（2）令y=k（a+1），得y=h（a）圖象與直線y=k（a+1）有兩個不同的交點，由直線y=k（a+1）恒過定點（-1，0），能求出實數(shù)k的取值范圍．
（3）．設a₁＜a₂＜a₃，由（2）知h（a₁）＞h（a₂）＞h（a₃），由已知條件推導出

BA

•

BC

＜0，由此能證明△ABC為鈍角三角形．

解答： （1）解：∵f（x）=2x²（x-a），
∴f′（x）=6x²-4ax=6x（x-

2

3

a），
令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

a．
①若a＜

3

2

，即0＜

2

3

a＜1時，
則當1≤x≤2時，f′（x）＞0，∴f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴h（a）=f（1）-2a．
②若

3

2

≤a＜3，即1≤

2

3

a＜2時，
則當

2

3

a＜x≤2時，f′（x）＞0，
∴f（x）在區(qū)間[1，

2

3

a]上是減函數(shù)，在[

2

3

a，2]上是增函數(shù)，
∴h（a）=f（

2

3

a）=-

3

27

a3
②若a≥3，即

2

3

a≥2時，當1≤x≤2時，f′（x）≤0，
∴f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴h（a）=f（2）=16-8a，
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值是：
h(a)=

2-2a，(a＜ 3 2 ) - 8 27 a3，( 3 2 ≤a＜3) 16-8a，(a≥3)

…（8分）
（2）解：∵方程h（a）=k（a+1）有兩個不同的實數(shù)解，
令y=k（a+1），得y=h（a）圖象與直線y=k（a+1）有兩個不同的交點，
而直線y=k（a+1）恒過定點（-1，0），
∴實數(shù)k的取值范圍是（-8，-2）．…（12分）
（3）．證明：不妨設a₁＜a₂＜a₃，
由（2）知h（a₁）＞h（a₂）＞h（a₃），

BA

=（a₁-a₂，h（a₁）-h（a₂）），

BC

=（a₃-a₂，h（a₃）-h（a₂）），
∴

BA

•

BC

=（a₁-a₂）（a₃-a₂）+[h（a₁）-h（a₂）]，
∵a₁-a₂＜0，a₃-a₂＞0，h（a₁）-h（a₂）＞0，h（a₃）-h（a₂）＜0，
∴

BA

•

BC

＜0．又∵A，B，C三點不共線，
∴∠B∈(

π

2

，π)，即△ABC為鈍角三角形…（16分）

點評：本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上最小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查三角形為鈍角三角形的證明，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．