【題目】如圖,在幾何體中,四邊形是邊長為2的菱形,平面平面, .

(1)當長為多少時,平面平面?

(2)在(1)的條件下,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)二面角E-AC-F的余弦值為.

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,利用向量垂直列方程組,解得各面法向量,根據(jù)平面垂直得兩法向量數(shù)量積為零,解得長,(2)利用方程組先解出各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求兩法向量夾角,再根據(jù)二面角與向量夾角關系求結果.

試題解析:(1)連接BD交AC于點O,則AC⊥BD.

取EF的中點G,連接OG,則OG∥DE.

∵DE⊥平面ABCD,∴OG⊥平面ABCD.

∴OG,AC,BD兩兩垂直.

∴以AC,BD,OG所在直線分別作為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系(如圖),

由題意,易求,

設平面AEF,平面CEF的法向量分別為,

,,得,∴

解得. 令,∴.

同理可求.

若平面AEF⊥平面CEF,則,

,

解得(舍),

即BF長為時,平面AEF⊥平面CEF.

(2)當時,

,,∴EF⊥AF,EF⊥CF,

∴EF⊥平面AFC,

∴平面AFC的一個法向量為

設平面AEC的一個法向量為,則

,∴,得

,得,∴.

從而.

故所求的二面角E-AC-F的余弦值為.

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(Ⅲ)小李乘坐一號線地鐵從地到站的票價是5元,返程時,小李乘坐某路公共電汽車所花交通費也是5元,假設小李往返過程中乘坐地鐵和公共電汽車的路程均為公里,試寫出的取值范圍.

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合計

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