Question

如果奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最大值為5，那么f（x）在區(qū)間[-7，-3]上是（　�。�

A．減函數(shù)且最小值是-5

B．增函數(shù)且最大值是-5

C．減函數(shù)且最大值是-5

D．增函數(shù)且最小值是-5

Answer 1

分析：根據(jù)題意得任意的x∈[3，7]，有f（x）≤f（7）恒成立，從而對(duì)x∈[-7，-3]都有f（-x）≤f（7）恒成立，由函數(shù)為奇函數(shù)得對(duì)任意的x∈[-7，-3]有f（x）≥f（-7）=-5恒成立．由此可得答案．

解答：解：∵奇函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)，∴f（x）在區(qū)間[-7，-3]上也是增函數(shù)
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)，最大值為5，
∴當(dāng)3≤x≤7時(shí)，[f（x）]_max=f（7）=5，
即任意的x∈[3，7]，f（x）≤f（7）恒成立．
又∵x∈[-7，-3]時(shí)，-x∈[3，7]，得f（-x）≤f（7）恒成立，
∴根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得-f（x）≤f（7）即f（x）≥f（-7），
∵f（-7）=-f（7）=-5，
∴對(duì)任意的x∈[-7，-3]，f（x）≥f（-7）=-5恒成立，
因此，f（x）在區(qū)間[-7，-3]上為增函數(shù)且有最小值f（-7）=-5．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的奇偶性與單調(diào)性，求它在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性與最值．著重考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及其相互關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．