Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1的焦點為F₁、F₂，拋物線y²=px（p＞0）與橢圓在第一象限的交點為Q，若∠F₁QF₂=60°．
（1）求△F₁QF₂的面積；
（2）求此拋物線的方程．

Answer 1

分析：（1）由Q在橢圓上，知|QF₁|+|QF₂|=4．在△QF₁F₂中，|QF1|2+|QF2|2-2|QF1||QF2|cos60°=|F1F2|2=12，所以|QF1||QF2|=

4

3

，由此能求出△F₁QF₂的面積．
（2）設(shè)Q（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），S△QF1F2=

1

2

|F1F2|y0，故y0=

1

3

．又Q點在橢圓上，所以x0=

4 2

3

，故Q(

4 2

3

，

1

3

)．由Q點在拋物線上，能求出拋物線方程．

解答：解：（1）∵Q在橢圓上，
∴|QF₁|+|QF₂|=4，
∴|QF1|2+2|QF1||QF2|+|QF2|2=16，…①
在△QF₁F₂中，∵∠F₁QF₂=60°，
∴|QF1|2+|QF2|2-2|QF1||QF2|cos60°=|F1F2|2=12…②
①-②，得：|QF1||QF2|=

4

3

，
∴S△QF1F2=

1

2

|QF1||QF2|sin60°=

3

3

．
（2）設(shè)Q（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0）
由（1）知，S△QF1F2=

1

2

|F1F2|y0=

3

3

，
∵|F₁F₂|=2c=2

4-1

=2

3

，
∴

3

y0=

3

3

，
故y0=

1

3

，
又Q點在橢圓上，所以

x 2 0

4

+

1

9

=1，
即x0=

4 2

3

，
故Q(

4 2

3

，

1

3

)．
又Q點在拋物線上，
所以(

1

3

)2=p×

4 2

3

，
∴p=

2

24

，
所以拋物線方程為y2=

2

24

x．

點評：本題考查圓錐曲線的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．