Question

若定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x，則函數(shù)y=f（x）-log₅|x|的零點個數(shù)有

8

個．

Answer 1

分析：f（x）是個周期為2的周期函數(shù)，且是個偶函數(shù)，在一個周期[-1，1]上，圖象是2條斜率分別為1和-1的線段，且 0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的圖象；y=log₅|x|也是個偶函數(shù)，圖象過（1，0），和（5，1），結合圖象可得函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log₄|x|的圖象的交點個數(shù)，從而得到函數(shù)零點個數(shù)．

解答：解：由題意知，函數(shù)y=f（x）是個周期為2的周期函數(shù)，且是個偶函數(shù)，在一個周期[-1，1]上，
圖象是2條斜率分別為1和-1的線段，且 0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的圖象．
函數(shù)y=log₅|x|也是個偶函數(shù)，先看他們在[0，+∞）上的交點個數(shù)，
則它們總的交點個數(shù)是在[0，+∞）上的交點個數(shù)的2倍．
在（0，+∞）上，y=log₅|x|=log₅ x，圖象過（1，0），和（5，1），是單調增函數(shù)，與f（x）交與4個不同點，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log₄|x|的圖象的交點個數(shù)是8個，
故答案為 8．

點評：本題本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性、函數(shù)圖象的對稱性，體現(xiàn)數(shù)形結合的數(shù)學思想．考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)已知條件分析函數(shù)的性質，進而判斷出函數(shù)零點的分布情況是解答本題的關鍵．