Question

如圖1，已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別是2和6，高為3的等腰梯形.將它沿對(duì)稱軸OO₁折成直二面角，如圖2.

                          圖1

                         圖2

(1)證明AC⊥BO₁；

(2)求二面角O-AC-O₁的大小.

Answer 1

思路解析:本題通常有兩種解法、一種是在空間直角坐標(biāo)系中求;另一種是常規(guī)解法.

解法一:(1)證明:由題設(shè)知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

即OA⊥OB.故可以O為原點(diǎn)，OA、OB、OO₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，1，)、O₁(0，0，).

從而=(-3、1、3)、=(0、-3、3)、=-3+·=0.

所以AC⊥BO₁.

(2)解：因?yàn)?SUB>·=-3+·=0,所以BO₁⊥OC.

由(1)AC⊥BO₁，所以BO₁⊥平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量.

設(shè)n=(x、y、z)是平面O₁AC的一個(gè)法向量，

由得n=(1，0，).

設(shè)二面角O-AC-O₁的大小為θ，由n、的方向可知θ=〈n、〉，

所以cosθ=cos〈n，〉=

即二面角O-AC-O₁的大小是arccos.

解法二:(1)證明:由題設(shè)知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.

從而AO⊥平面OBCO₁，OC是AC在面OBCO₁內(nèi)的射影.

因?yàn)閠an∠OO₁B=,tan∠O₁OC=

所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，從而OC⊥BO₁.

由三垂線定理得AC⊥BO₁.

(2)解:由(1)AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC.

設(shè)OC∩O₁B=E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于F，連結(jié)O₁F(如圖)，則EF是O₁F在平面AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得O₁F⊥AC.

所以∠O₁FE是二面角O-AC-O₁的平面角.

由題設(shè)知OA=3，OO₁=，O₁C=1，

所以O₁A=

從而O₁F=.又O₁E=OO₁·sin30°=，

所以sin∠O₁FE=,即二面角O-AC-O₁的大小是arcsin.