Question

四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所有平面垂直于底面ABCD

（Ⅰ）求證：AD⊥PB；

（Ⅱ）若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

證明：（Ⅰ）

取AD中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)PG、BG、BD，

∵△PAD為等邊三角形，∴PG⊥AD，

又∵面PAD⊥面ABCD，∴PG⊥面ABCD

△ABD中，∠A=60°，AD=AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∵PG⊥AD，∴AD⊥面PBG，∴AD⊥PB

（Ⅱ）聯(lián)結(jié)CG，與DE相交與H點(diǎn)，

在面PGC中作HF∥PG，交PC與F點(diǎn)，

所以FH⊥面ABCD，

所以面DEF⊥面ABCD

又F是CG的中點(diǎn)，∴F是PC的中點(diǎn)，

∴在PC上存在一點(diǎn)F，即為PC的中點(diǎn)，使得面DEF⊥面ABCD