Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體, 存在非零常數(shù)T, 對(duì)任意x∈R, 有f（x+T）=T
f（x）成立．
（1） 函數(shù)f（x）=x是否屬于集合M？說(shuō)明理由;
（2）設(shè)f（x）∈M, 且T=2, 已知當(dāng)時(shí), f（x）=x+lnx, 求當(dāng)時(shí), f（x）的解析式．
（3）若函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解: (1) 假設(shè)函數(shù)f(x)=x屬于集合M,
則存在非零常數(shù)T, 對(duì)任意x∈R, 有成立,
即: x+T=Tx成立.
令x=0, 則T=0, 與題矛盾.
故.
(2) , 且T=2, 則對(duì)任意x∈R, 有,
設(shè), 則,
當(dāng)時(shí), ,
故當(dāng)時(shí), . 
(3）當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=0，顯然f(x)=0∈M.  
當(dāng)k≠0時(shí)，因?yàn)閒(x)=sinkx∈M，
所以存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立，
即sin(kx+kT)=Tsinkx .      
因?yàn)閗≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[-1，1]，sin（kx+kT） ∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx .成立，只有T= ，
①當(dāng)T=1時(shí)，sin(kx+k)=sinkx 成立，則k=2mπ, m∈Z .  
②當(dāng)T=－1時(shí)，sin(kx－k)=－sinkx 成立，即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，
則－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－(2m－1)π, m∈Z 
綜合得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|k= nπ, n∈Z}