已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)T,對任意x∈R,有f(x+T)=T•f(x)成立.
(1)函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M?說明理由;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象與y=x的圖象有公共點,證明:f(x)=ax∈M;
(3)若函數(shù)f(x)=sinkx∈M,求實數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)將f(x)=x代入定義(x+T)=T f(x)驗證知函數(shù)f(x)=x不屬于集合M.
(2)由題意存在x∈R使得ax=x,由新定義知存在非零常數(shù)T使得aT=T,將函數(shù)關(guān)系式代入f(x+T)=T f(x)驗證知
f(x)=ax∈M.
(3)若函數(shù)f(x)=sinkx∈M,依據(jù)定義應(yīng)該有sin(kx+kT)=Tsinkx∈[-1,1]對任意實數(shù)都成立,故T=±1.將T=±1代入sin(kx+kT)=Tsinkx求k的范圍即可.
解答:解:(1)對于非零常數(shù)T,
f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.
因為對任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,
所以f(x)=x∉M;
(2)因為函數(shù)f(x)=a
x(a>0且a≠1)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點,
所以方程組:
有解,消去y得a
x=x,
顯然x=0不是方程a
x=x的解,所以存在非零常數(shù)T,使a
T=T.
于是對于f(x)=a
x有f(x+T)=a
x+T=a
T•a
x=T•a
x=Tf(x)故f(x)=a
x∈M;
(3)當(dāng)k=0時,f(x)=0,顯然f(x)=0∈M.
當(dāng)k≠0時,因為f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常數(shù)T,
對任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立,
即sin(kx+kT)=Tsinkx.
因為k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx.成立,
只有T=±1,當(dāng)T=1時,sin(kx+k)=sinkx成立,
則k=2mπ,m∈Z.
當(dāng)T=-1時,sin(kx-k)=-sinkx成立,
即sin(kx-k+π)=sinkx成立,
則-k+π=2mπ,m∈Z,即k=-(2m-1)π,m∈Z.
綜合得,實數(shù)k的取值范圍是{k|k=mπ,m∈Z}.
點評:考查新定義下問題的證明與求解,此類題的特點是探究時只能以新定義的規(guī)則為依據(jù),不能引入熟悉的算法,這是做此類題時要注意的.