Question

【題目】（1）.公路上、兩鎮(zhèn)相距5公里，、往外各有兩條叉路成形狀，計(jì)劃在每條叉路上各建一加油站，要求每個(gè)站到、鎮(zhèn)及其他站（沿公路進(jìn)過、鎮(zhèn)）距離互不相同，且距離均為整數(shù)公里，最長(zhǎng)不超過15公里，此計(jì)劃能否實(shí)現(xiàn)？

（2）.若、向外各有3條叉路，欲建六個(gè)加油站，依然要求站與鎮(zhèn)，站與站之間距離互不相同且為整數(shù)公路，最長(zhǎng)者不超過28公里，能否實(shí)現(xiàn)？為什么？

Answer 1

【答案】(1)能(2)不能

【解析】

（1）兩叉路情況可以實(shí)現(xiàn).

如圖所示：

其四站兩鎮(zhèn)間有種距離恰好互不相同，分別為公里.

（2）三叉路情況不能實(shí)現(xiàn)，假設(shè)圖中六站合要求，

到、距離為、、、、、，因有種不同距離，

其總和為（公里）.

在總和中，、、、、、各被計(jì)算7次，而，則共被計(jì)算16次，

故有等式，

由上式有這不成立，故不能實(shí)現(xiàn).

注：上述方法在（公里）時(shí)，不適用（∵成立），其實(shí)，對(duì)為任意給定距離均不可實(shí)現(xiàn).

下面介紹普遍證法：

設(shè)六個(gè)站建成如圖.

在點(diǎn)記“”號(hào)，凡到距離為偶數(shù)公里的點(diǎn)均記“”號(hào)，凡到為奇數(shù)公里的點(diǎn)均記“”號(hào)，

于是，、及六個(gè)站均記上“”或“”號(hào)，且同號(hào)兩點(diǎn)距離為偶數(shù)，異號(hào)兩點(diǎn)間距離為奇數(shù)，設(shè)有個(gè)“”號(hào)，個(gè)“”號(hào)，

則， ①

又因奇數(shù)距離共個(gè)，而間奇數(shù)有14個(gè)，

于是，， ②

但滿足方程組①②的整數(shù)解、不存在，

故三叉路修站計(jì)劃不能實(shí)現(xiàn).