Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-2x+2+alnx（a∈R）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a∈（0，1）時，若m為f（x）的極小值點，求證：0＜f（m）＜

1

2

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出f（x）=

1

2

x²-2x+2+alnx的定義域為（0，+∞），再求導(dǎo)f′（x）=x-2+

a

x

=

x2-2x+a

x

；從而討論確定導(dǎo)數(shù)的正負以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）知，m=1+

1-a

；故f（m）=f（1+

1-a

）=

1

2

（1+

1-a

）²-2（1+

1-a

）+2+aln（1+

1-a

）；
利用換元法令1+

1-a

=t，故a=2t-t²（1＜t＜2）；從而得到f（t）=

1

2

t²-2t+2+（2t-t²）lnt；求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

x²-2x+2+alnx的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x-2+

a

x

=

x2-2x+a

x

；
①當(dāng)a≥1時，△=4-4a≤0，故f′（x）≥0；
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜1時，
f′（x）=0有兩個根為x=1-

1-a

＞0，x=1+

1-a

＞0；
故f（x）在（0，1-

1-a

），（1+

1-a

，+∞）上是增函數(shù)，
在（1-

1-a

，1+

1-a

）上是減函數(shù)；
③當(dāng)a≤0時，
f′（x）=0有兩個根為x=1-

1-a

≤0，x=1+

1-a

＞0；
故f（x）在（0，1+

1-a

）上減增函數(shù)，在（1+

1-a

，+∞）上是增函數(shù)；
（2）證明：由（1）知，
∵m為f（x）的極小值點，
∴m=1+

1-a

；
故f（m）=f（1+

1-a

）=

1

2

（1+

1-a

）²-2（1+

1-a

）+2+aln（1+

1-a

）；
令1+

1-a

=t，故a=2t-t²（1＜t＜2）；
故f（t）=

1

2

t²-2t+2+（2t-t²）lnt；
故f′（t）=t-2+（2-2t）lnt+（2t-t²）

1

t

；
=（2-2t）lnt＜0；
故f（t）=

1

2

t²-2t+2+（2t-t²）lnt在（1，2）上是減函數(shù)，
故f（2）＜f（t）＜f（1）；
即0＜f（t）＜

1

2

；
即0＜f（m）＜

1

2

．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查換元法的應(yīng)用，屬于難題．