Question

【題目】已知函數(shù)，，且點(diǎn)處取得極值．

（Ⅰ）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題（Ⅰ）求導(dǎo)，利用求值；分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題；（Ⅱ）作差構(gòu)造函數(shù)，將證明不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．

試題解析：解：（Ⅰ）∵， ∴

∵函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，

∴，即當(dāng)時(shí)，

∴，則得．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意 2分

∵，∴， ∴．

令， 則．

∴當(dāng)時(shí)，隨的變化情況表：

	1	（1，2）	2	（2，3）	3
		+	0	-
		↗	極大值	↘

計(jì)算得：，，，

所以的取值范圍為． 6分

（Ⅱ）證明：令，

則，

令，則，

函數(shù)在遞增，在上的零點(diǎn)最多一個(gè)

又，，存在唯一的使得， 9分

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

在遞減，在遞增，從而．

由得即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，，

，從而證得． 12分