Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右頂點和右焦點分別為A（a，0）、F（c，0），若在直線x=-

a2

c

上存在點P使得∠APF=30°．則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A、（1，

  3+ 17

  2

  ]
• B、[

  3+ 17

  2

  ，+∞）
• C、（1，4]
• D、[4，+∞）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先運用正弦定理，求得圓的半徑r=c-a，再由直角三角形求得圓B的方程，所求圓恰好經(jīng)過A，F(xiàn)，則原題等價于直線x=-

a2

c

與圓B存在公共點，即有

a+c

2

+

a2

c

≤c-a，由離心率公式，解不等式即可得到．

解答： 解：由A（a，0）、F（c，0），
則|AF|=c-a，
由正弦定理可得，2r=

|AF|

sin30°

=2（c-a），即有r=c-a，
且圓心B在x=

a+c

2

上，
當△AFQ為直角三角形，且∠AQF=30°，∠QAF=90°時，可得B的縱坐標為

3

2

（c-a）．
故以B(

a+c

2

，

3 (c-a)

2

)為圓心、c-a為半徑的圓B恰好經(jīng)過A、F兩點，
且圓B上的點Q即為使得∠AQF=30°的所有點，
所以原題等價于直線x=-

a2

c

與圓B存在公共點，
即

a+c

2

+

a2

c

≤c-a⇒e²-3e-2≥0
⇒e≥

3+ 17

2

，或e≤

3- 17

2

（舍去）．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查直線和圓的關(guān)系，考查正弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．