Question

已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，其中常數(shù)，，設(shè)．
（Ⅰ）用，表示，；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求證：對(duì)任意的．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見(jiàn)解析，（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（Ⅰ）由題意得：，．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045719172879.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．.對(duì)抽象的求和符號(hào)具體化處理,是解答本題的關(guān)鍵.（Ⅱ）而
，（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)的命題. （1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）問(wèn)知是整數(shù)，結(jié)論成立．（2）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)結(jié)論成立，即都是整數(shù)，由（Ⅱ）問(wèn)知．即時(shí)，結(jié)論也成立．
解：（Ⅰ）由，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045719172879.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
．     3分
（Ⅱ）由，得
．
即，同理，．
所以．
所以．     8分
（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）問(wèn)知是整數(shù)，結(jié)論成立．
（2）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)結(jié)論成立，即都是整數(shù)．
由，得．
即．
所以，．
所以．
即．
由都是整數(shù)，且，，所以也是整數(shù)．
即時(shí)，結(jié)論也成立．
由（1）（2）可知，對(duì)于一切，的值都是整數(shù)．      13分