Question

【題目】已知曲線，過點(diǎn)作直線和曲線交于、兩點(diǎn).

（1）求曲線的焦點(diǎn)到它的漸近線之間的距離；

（2）若，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)，求直線傾斜角的取值范圍；

（3）過點(diǎn)作另一條直線，和曲線交于、兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得和同時(shí)成立？如果存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)的取值集合，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，實(shí)數(shù)的取值集合為

【解析】

（1）求出曲線的焦點(diǎn)和漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求求解即可；

（2）設(shè)，，表示出直線的斜率，根據(jù)的范圍，求出其范圍，進(jìn)而得到傾斜角的取值范圍；

（3）直接求出當(dāng)直線，直線和當(dāng)直線，直線時(shí)，的值，當(dāng)時(shí)，與雙曲線聯(lián)立可得，利用弦長公式求出和，利用列方程求出的值，驗(yàn)證判別式成立即可得出結(jié)果.

（1）曲線的焦點(diǎn)為，漸近線方程，

由對(duì)稱性，不妨計(jì)算到直線的距離，.

（2）設(shè)，，從而

又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，

從而，

所以直線傾斜角的取值范圍是；

（3）當(dāng)直線，直線

，

當(dāng)直線，直線時(shí)，

不妨設(shè)，與雙曲線聯(lián)立可得，

由弦長公式，

將替換成，可得

由，可得，

解得，此時(shí)成立．

因此滿足條件的集合為