如圖,四面體中,、分別是的中點,

(1)求證:平面

(2)求直線與平面所成角的余弦值;

(3)求點到平面的距離。

 

【答案】

(1)證明:連結(jié)OC.

∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.

在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=.

而AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

AB平面BCD.

(Ⅱ)解:取AC的中點M,連結(jié)OM、ME、OE,由EBC的中點知MEAB,OEDC.

∴直線OEEM所成的銳角就是異面直線ABCD所成的角.

在△OME中,

是直角△AOC斜邊AC上的中線,∴

∴異面直線ABCD所成角的余弦值為

(Ⅲ)解:設(shè)點E到平面ACD的距離為h.

,  ∴·SACD =·AO·SCDE.

在△ACD中,CA=CD=2,AD=,∴SACD=

AO=1, SCDE=h=

∴點E到平面ACD的距離為.

方法二:(Ⅰ)同方法一:

(Ⅱ)解:以O為原點,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(-1,0,0),

C(0,,0),A(0,0,1),E(,,0), 

∴異面直線ABCD所成角的余弦值為

(Ⅲ)解:設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則   

   ∴

令y=1,得n=(-)是平面ACD的一個法向量.   又

∴點E到平面ACD的距離 h=

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求證:平面;

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如圖,四面體中,、分別是、的中點,

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求異面直線所成角余弦值的大;

(Ⅲ)求點到平面的距離.

 

 

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如圖,四面體中,、分別是、的中點,平面,

    (1)求證:面

    (2)求異面直線所成角的大。

   

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