精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
(2013•福建)如圖,在正方形OABC中,O為坐標原點,點A的坐標為(10,0),點C的坐標為(0,10),分別將線段OA和AB十等分,分點分別記為A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,連接OBi,過Ai作x軸的垂線與OBi,交于點
P
 
i
(i∈N*,1≤i≤9)

(1)求證:點
P
 
i
(i∈N*,1≤i≤9)
都在同一條拋物線上,并求拋物線E的方程;
(2)過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M,N,若△OCM與△OCN的面積之比為4:1,求直線l的方程.
分析:(I)由題意,求出過Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x=i,Bi的坐標為(10,i),即可得到直線OBi的方程為y=
i
10
x
.聯立方程
x=i
y=
i
10
x
,即可得到Pi滿足的方程;
(II)由題意,設直線l的方程為y=kx+10,與拋物線的方程聯立得到一元二次方程,利用根與系數的關系,及利用面積公式S△OCM=S△OCN,可得|x1|=4|x2|.即x1=-4x2.聯立即可得到k,進而得到直線方程.
解答:(I)證明:由題意,過Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x=i,Bi的坐標為(10,i),
∴直線OBi的方程為y=
i
10
x

設Pi(x,y),由
x=i
y=
i
10
x
,解得y=
x2
10
,即x2=10y.
∴點
P
 
i
(i∈N*,1≤i≤9)
都在同一條拋物線上,拋物線E的方程為x2=10y.
(II)由題意,設直線l的方程為y=kx+10,
聯立
y=kx+10
x2=10y
消去y得到x2-10kx-100=0,
此時△>0,直線與拋物線恒有兩個不同的交點,
設為M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=10k,x1x2=-100,
∵S△OCM=4S△OCN,∴|x1|=4|x2|.∴x1=-4x2
聯立
x1+x2=10k
x1x2=-100
x1=-4x2
,解得k=±
3
2

∴直線l的方程為y=±
3
2
x+10
.即為3x+2y-20=0或3x-2y+20=0.
點評:本題主要考查了拋物線的性質、直線與拋物線的位置關系、三角形的面積等基礎知識,考查了推理能力、轉化與化歸方法、計算能力、數形結合的思想方法、函數與方程得思想方法、分析問題和解決問題的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•福建)如圖,在△ABC中,已知點D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=
2
2
3
,AB=3
2
,AD=3,則BD的長為
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•福建)如圖,在四棱柱P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.
(I)當正視方向與向量
AD
的方向相同時,畫出四棱錐P-ABCD的正視圖(要求標出尺寸,并寫出演算過程);
(II)若M為PA的中點,求證:DM∥平面PBC;
(III)求三棱錐D-PBC的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•福建)如圖,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2
2
,點M在線段PQ上,
(Ⅰ)若OM=
5
,求PM的長;
(Ⅱ)若點N在線段MQ上,且∠MON=30°,問:當∠POM取何值時,△OMN的面積最?并求出面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•福建)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k,(k>0)
(1)求證:CD⊥平面ADD1A1
(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為
67
,求k的值
(3)現將與四棱柱ABCD-A1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱,規(guī)定:若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案,問共有幾種不同的拼接方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為f(k),寫出f(k)的解析式.(直接寫出答案,不必說明理由)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案