【題目】已知定義在[﹣2,2]上的函數(shù)y=f(x)和y=g(x),其圖象如圖所示:給出下列四個(gè)命題:
①方程f[g(x)]=0有且僅有6個(gè)根 ②方程g[f(x)]=0有且僅有3個(gè)根
③方程f[f(x)]=0有且僅有5個(gè)根 ④方程g[g(x)]=0有且僅有4個(gè)根
其中正確命題的序號(hào)(

A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④

【答案】D
【解析】解:由圖象可得﹣2≤g(x)≤2,﹣2≤f(x)≤2,①由于滿足方程f[g(x)]=0 的g(x)有三個(gè)不同值,由于每個(gè)值g(x)對(duì)應(yīng)了2個(gè)x值,
故滿足f[g(x)]=0的x值有6個(gè),即方程f[g(x)]=0有且僅有6個(gè)根,故①正確.
②由于滿足方程g[f(x)]=0的f(x)有2個(gè)不同的值,從圖中可知,每一個(gè)值f(x),
一個(gè)f(x)的值在(﹣2,﹣1)上,令一個(gè)f(x)的值在(0,1)上.
當(dāng)f(x)的值在(﹣2,﹣1)上時(shí),原方程有一個(gè)解;f(x)的值在(0,1)上,原方程有3個(gè)解.
故滿足方程g[f(x)]=0的x值有4個(gè),故②不正確.
③由于滿足方程f[f(x)]=0的f(x)有3個(gè)不同的值,從圖中可知,一個(gè)f(x)等于0,
一個(gè)f(x)∈(﹣2,﹣1),一個(gè)f(x)∈(1,2).
而當(dāng)f(x)=0對(duì)應(yīng)了3個(gè)不同的x值;當(dāng)f(x)∈(﹣2,﹣1)時(shí),只對(duì)應(yīng)一個(gè)x值;
當(dāng)f(x)∈(1,2)時(shí),也只對(duì)應(yīng)一個(gè)x值.
故滿足方程f[f(x)]=0的x值共有5個(gè),故③正確.
④由于滿足方程g[g(x)]=0 的g(x)值有2個(gè),而結(jié)合圖象可得,每個(gè)g(x)值對(duì)應(yīng)2個(gè)不同的x值,
故滿足方程g[g(x)]=0 的x值有4個(gè),即方程g[g(x)]=0有且僅有4個(gè)根,故④正確.
故選 D.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)當(dāng)OP⊥AB時(shí),求AB所在直線的直線方程;
(2)求△OAB面積的最小值,并求當(dāng)△OAB面積取最小值時(shí)的B的坐標(biāo).

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(2)若f(1)= ,且g(x)=a2x+a2x﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值為﹣2,求m的值.

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(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范圍.

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B.1
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