【題目】在平行六面體中，平面，且 ，．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，因?yàn)?/span>平面，可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)求出的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出 的坐標(biāo) ，（1）直接利用空間向量向量所成角的余弦公式可得異面直線與所成角的余弦值 ；（2）求出平面與平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)空間向量夾角余弦公式求出兩法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值.

試題解析：在平面ABCD內(nèi)，過點(diǎn)A作AEAD，交BC于點(diǎn)E．因?yàn)?/span>AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD．

如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz．因?yàn)?/span>AB=AD=2，AA1=，．

則．

（1），

則．異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為．

(2)平面的一個(gè)法向量為，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，又，則，即，不妨取，則為平面的一個(gè)法向量，從而，設(shè)二面角B-A1D-A的大小為，則．因?yàn)?/span>，所以．因此二面角B-A1D-A的正弦值為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求異面直線所成的角及二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于不同的兩點(diǎn)、，試問：在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線 與直線的斜率的和為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，直角梯形中，，、分別是、上的點(diǎn)，且，．沿將四邊形翻折至，連接、、，得到多面體，且．

（Ⅰ）求多面體的體積；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著社會(huì)的發(fā)展，終身學(xué)習(xí)成為必要，工人知識(shí)要更新，學(xué)習(xí)培訓(xùn)必不可少，現(xiàn)某工廠有工人1000名，其中250名工人參加短期培訓(xùn)（稱為類工人），另外750名工人參加過長(zhǎng)期培訓(xùn)（稱為類工人），從該工廠的工人中共抽查了100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）得到類工人生產(chǎn)能力的莖葉圖（左圖），類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖（右圖）.

(1)問類、類工人各抽查了多少工人，并求出直方圖中的；

(2)求類工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)，并估計(jì)類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

(3)若規(guī)定生產(chǎn)能力在內(nèi)為能力優(yōu)秀，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)在答題卡上完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為生產(chǎn)能力與培訓(xùn)時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān).能力與培訓(xùn)時(shí)間列聯(lián)表

短期培訓(xùn)

長(zhǎng)期培訓(xùn)

合計(jì)

能力優(yōu)秀

能力不優(yōu)秀

合計(jì)

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于下列四個(gè)命題:

p1:x0∈(0,+∞),;

p2:x0∈(0,1),lox0>lox0;

p3:x∈(0,+∞),<lox;

p4:x∈<lox.

其中的真命題是(　　)

A. p1,p3 B. p1,p4

C. p2,p3 D. p2,p4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的有（ ）

①在處取得極大值；②有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

③；④若在上恒成立，則.

A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程是，將向上平移2個(gè)單位得到曲線．　

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），判斷直線與曲線的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓過， 兩點(diǎn)，且圓心在直線上.

（1）求圓的方程；

（2）若直線過點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為，求的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下面四個(gè)推理中，屬于演繹推理的是（　�。�

A. 觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，則72015的末兩位數(shù)字為43

B. 觀察，可得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)

C. 在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似的，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1：2，則它們的體積之比為1：8

D. 已知堿金屬都能與水發(fā)生還原反應(yīng)，鈉為堿金屬，所以鈉能與水發(fā)生反應(yīng)

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