Question

閱讀下列命題：
①若點(diǎn)P（a，2a）（a≠0）為角α終邊上一點(diǎn)，則sinα=

2 5

5

；
②同時滿足sinα=

1

2

，cosα=

3

2

的角有且只有一個；
③設(shè)tanα=

1

2

且π＜α＜

3π

2

，則sinα=-

5

5

；
④設(shè)cos（sinθ）•tan（cosθ）＞0（θ為象限角），則θ在第一象限．其中正確命題為

 

．（將正確命題的序號填在橫線上）

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

專題：三角函數(shù)的求值

分析：①根據(jù)a的正負(fù)，利用任意角的三角函數(shù)定義計算得到結(jié)果，即可找出判斷；
②利用特殊角的三角函數(shù)值及誘導(dǎo)公式判斷即可得到結(jié)果；
③由tanα的值及α的范圍，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出cosα的值，進(jìn)而求出sinα的值，即可做出判斷；
④根據(jù)已知不等式，由cos（sinθ）恒大于0，得到tan（cosθ）大于0，確定出cosθ的范圍，進(jìn)而確定出θ的象限，即可做出判斷．

解答： 解：若點(diǎn)P（a，2a）（a≠0）為角α終邊上一點(diǎn)，
則當(dāng)a＞0時，sinα=

2 5

5

；當(dāng)a＜0時，sinα=-

2 5

5

，選項①錯誤；
同時滿足sinα=

1

2

，cosα=

3

2

的角有無數(shù)個，此時α=2kπ+

π

6

，選項②錯誤；
設(shè)tanα=

1

2

且π＜α＜

3π

2

，可得cosα=-

1 1+tan2α

=-

2 5

5

，
則sinα=-

1-cos2α

=-

5

5

，選項③正確；
∵cos（sinθ）•tan（cosθ）＞0，cos（sinθ）＞0恒成立，
∴tan（cosθ）＜0，即-1≤cosθ＜0，
∴θ為第二，三象限角或x軸負(fù)半軸，故選項④錯誤；
故答案為：③．

點(diǎn)評：此題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．