如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G..

（Ⅰ）求證：∥；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求正方體被平面所截得的幾何體

的體積.

（Ⅰ）證明：在正方體中，∵平面∥平面

      平面平面，平面∩平面

      ∴∥.-------------------------------------3分

 （Ⅱ）解：如圖，以D為原點分別以DA、DC、DD1為

x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有

D1（0，0，2），E（2，1，2），F(xiàn)（0，2，1），

∴，

      設(shè)平面的法向量為

     則由，和，得，

     取，得，，∴ ------------------------------5分

又平面的法向量為（0，0，2）

故；

    ∴截面與底面所成二面角的余弦值為. ------------------7分

（Ⅲ）解：設(shè)所求幾何體的體積為V，

        ∵～，，，

        ∴，，

       ∴，

--------------------------9分

故V棱臺

                        

     ∴V=V正方體-V棱臺. ------------------12分

練習(xí)冊系列答案
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如圖，已知正方體的棱長為a，M為的中點，點N在上，且，試求MN的長．

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如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G..

（Ⅰ）求證：∥；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求正方體被平面所截得的幾何體的體積.

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