Question

若f（x）=

log2(x2-1)，x＞1 x-2-1，x＜0

，則f（x）≤3的解集是

 

．

Answer 1

分析：當(dāng)x大于1時(shí)，根據(jù)分段函數(shù)的解析式得到f（x）的表達(dá)式，代入f（x）≤3中，把3變?yōu)閘og₈²，由2大于1，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集與x大于1求出交集即為原不等式的解集；當(dāng)x小于0時(shí)，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，得到f（x）的表達(dá)式，代入f（x）≤3中，移項(xiàng)后利用平方差公式分解因式，然后根據(jù)兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)化為兩個(gè)不等式組，根據(jù)x小于0和負(fù)指數(shù)的計(jì)算法則，去掉分母后即可得到x的取值范圍，綜上，求出兩種情況的x的范圍的并集即為原不等式的解集．

解答：解：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=

log

x2-1 2

≤3=log₂⁸，
由2＞1，得到對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，
得到x²-1≤8，即（x+3）（x-3）≤0，
解得：-3≤x≤3，又x＞1，
所以原不等式的解集為（1，3]；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x^-2-1≤3，即（x^-1+2）（x^-1-2）≤0，
化為

1 x +2≤0 1 x -2≥0

或

1 x +2≥0 1 x -2≤0

，又x＜0，
解得：x≤-

1

2

，
原不等式的解集為（-∞，-

1

2

]，
綜上，f（x）≤3的解集是（-∞，-

1

2

]∪（1，3]．
故答案為：（-∞，-

1

2

]∪（1，3]

點(diǎn)評(píng)：此題考查了其他不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的思想，是一道基礎(chǔ)題．