Question

已知F為拋物線C：y²=4x焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)N是拋物線C上一點(diǎn)
（Ⅰ）如圖1，若MN的中垂線恰好過(guò)焦點(diǎn)F，求點(diǎn)N的y軸的距離
（Ⅱ）如圖2，已知直線l交拋物線C于點(diǎn)P，Q，若在拋物線C上存在點(diǎn)R，使FPRQ為平行四邊形，試探究直線l是否過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由中垂線的性質(zhì)可得|NF|=|MF|=2，利用拋物線的定義可得x_N+1=2，得到x_N=1．即可求出點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離．
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l：x=my+b．由FPRQ為平行四邊形，可得．利用向量相等即可得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，再將直線l的方程與拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，從而得出定點(diǎn)．
解答：解：（I）∵M(jìn)N的中垂線恰好經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，∴|NF|=|MF|=2，
∴x_N+1=2，
∴x_N=1．即點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為1．
（II）焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l：x=my+b．
∵FPRQ為平行四邊形，∴．
∴x₁+x₂=x_R+1，y₁+y₂=y_R．
∵點(diǎn)R在拋物線上，∴，即．
又點(diǎn)P，Q在拋物線上，∴y₁y₂=-2．由得y²-4my-4b=0，∴y₁y₂=-4b．∴-4b=-2，解得．
∴直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)、向量相等、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．