Question

如圖1，在直角梯形中，，，，. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請說明理由.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）正弦值為；（3）存在，點(diǎn)E即為所求.

試題分析：本題以三棱錐為幾何背景考查面面平行和二面角的求法，可以運(yùn)用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計(jì)算能力.第一問，首先由點(diǎn)的正投影在上得平面，利用線面垂直的性質(zhì)，得，在原直角梯形中，利用已知的邊和角，得到，，所以得到為等邊三角形，從而知是的中點(diǎn)，所以可得，，
利用面面平行的判定得出證明；第二問，先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，先設(shè)出平面的法向量，利用求出，利用夾角公式求直線和法向量所在直線的夾角；第三問，由已知和前2問過程中得到的數(shù)據(jù)，可以看出，所以點(diǎn)即為所求.
試題解析：（I）因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上，
所以平面，所以，                  1分
因?yàn)樵谥苯翘菪?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030549428516.png" style="vertical-align:middle;" />中，，，，，
所以，，所以是等邊三角形，
所以是中點(diǎn)，                     2分
所以，                      3分
同理可證，
又，
所以平面平面.                          5分
（II）在平面內(nèi)過作的垂線 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，      6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030549833627.png" style="vertical-align:middle;" />，，

設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030549896702.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以有，即，
令則 所以 ，                8分
，                   10分
所以直線與平面所成角的正弦值為 .               11分
(III)存在，事實(shí)上記點(diǎn)為即可                      12分
因?yàn)樵谥苯侨�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030550192427.png" style="vertical-align:middle;" />中，，   13分
在直角三角形中，點(diǎn)，
所以點(diǎn)到四個點(diǎn)的距離相等.                   14分