解答題

已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù),設(shè)F(x)=f(x)―f(a―x).

(1)

求證:F(x)在R上是增函數(shù);

(2)

求F的值,并證明y=F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱;

(3)

若對任意x、y∈R,滿足F(x+y)+F(x-y)=2F(x)F(y),求證對任意x∈R,總有F(x+a)=-F(x)

答案:
解析:

(1)

證明:設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2

則F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)]

=[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]…………2分

∵f(x)在R上是增函數(shù)

∴f(x1)-f(x2)<0

由(x1)<f(x2)知:a―x2<a―x1

∴f(a-x2)<f(a-x1)

∴F(x1)-F(x2)<0即F(x1)<F(x2)

∴F(x)在R上是增函數(shù)…………5分

(2)

解:由已知得:F=f(a)―f=0…………6分

設(shè)P(x,y)為F(x)的圖象上任意點(diǎn)

則P(x,y)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱點(diǎn)P′為(a―x,―y)…………7分

∵F(a-x)=f(a―x)―f[a―(a―x)]=f(a―x)―f(x)

=―[f(x)―f(a―x)]=-F(x)…………9分

∴F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱…………10分

(3)

證明:用,分別代入F(x+y)+F(x―y)=2F(x)F(y)

得:……12分

由⑵知f=0

∴F(x+a)+F(x)=0

∴F(x+a)=-F(x)…………14分


練習(xí)冊系列答案
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解答題

已知f(x)=,

(1)

設(shè),求t的取值范圍;

(2)

若a>0時(shí),f(x)<0恒成立,試求a的取值范圍.

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