Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且a1=2，an+1=2Sn+2．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且bn是 與 的等比中項(xiàng)，求bn的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=2Sn+2，得

an=2Sn﹣1+2（n≥2），

兩式作差得：an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，

即 ．

又a2=2S1+2=2a1+2=6，

∴ ．

∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．

則 ；

（2）解：∵數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且bn是 與 的等比中項(xiàng)，

∴ ，

．

∴ ．

．

作差得：

= = ．

∴ ．

【解析】（1）由an+1=2Sn+2，得an=2Sn﹣1+2（n≥2），作差后可得=3（n≥2），再檢驗(yàn)，進(jìn)而可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，由此可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由bn是 與 的等比中項(xiàng)可得{bn}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法可得{bn}的的前n項(xiàng)和Tn．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．