【題目】在平面直角坐標系中，已知向量，，且.記動點的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）已知直線過坐標原點，且與（1）中的軌跡交于兩點，在第三象限，且軸，垂足為，連接并延長交于點，求的面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由、推出，可知的軌跡是以，為焦點，4為長軸的橢圓，寫出橢圓的標準方程即可；（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求出M、N、H的坐標及直線HN的方程，直線HN的方程與橢圓方程聯(lián)立求出Q點坐標從而求出面積的表達式，利用導數(shù)研究面積的最大值.

（1）設，，

則，.

因為，所以，

由橢圓的定義可知的軌跡是以，為焦點，4為長軸的橢圓.

故的方程為.

（2）由題意可知直線的斜率一定存在，設直線的方程為（），

與橢圓聯(lián)立可得，

所以，，.

點的坐標為，直線的方程為，

代入，可得，

所以.

因為，所以，

的坐標為，

于是，所以，即.

因為，.

所以.

令，，

由，可得，在上單調遞增，在上單調遞減，

因此當時，函數(shù)有最大值，最大值為，即的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“倫敦眼”坐落在英國倫敦泰晤士河畔，是世界上首座觀景摩天輪，又稱“千禧之輪”，該摩天輪的半徑為6（單位：），游客在乘坐艙升到上半空鳥瞰倫敦建筑，倫敦眼與建筑之間的距離為12（單位：），游客在乘坐艙看建筑的視角為.

（1）當乘坐艙在倫敦眼的最高點時，視角，求建筑的高度；

（2）當游客在乘坐艙看建筑的視角為時，拍攝效果最好.若在倫敦眼上可以拍攝到效果最好的照片，求建筑的最低高度.

（說明：為了便于計算，數(shù)據(jù)與實際距離有誤差，倫敦眼的實際高度為）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給定橢圓C:(),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓C的離心率,點在C上.

(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;

(2)點P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個動點,過點P作直線,使得,與橢圓C都只有一個交點,且,分別交其“衛(wèi)星圓”于點M,N,證明:弦長為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為．過焦點F2的直線l（斜率不為0）與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為D，O為坐標原點，直線OD交橢圓于M，N兩點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）當四邊形MF1NF2為矩形時，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，側面為菱形，.

（1）求證：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，菱形與正三角形的邊長均為，它們所在平面互相垂直，平面，平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中）.

（1）當時，若函數(shù)在上單調遞減，求的取值范圍；

（2）當，時，

①求函數(shù)的極值；

②設函數(shù)圖象上任意一點處的切線為，求在軸上的截距的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程，某地的民調機構隨機選取了該地的100名市民進行調查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）現(xiàn)從年齡在，，內的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進行座談，用表示年齡在）內的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；

（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調查，其中有名市民的年齡在的概率為．當最大時，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．現(xiàn)甲、乙兩管理員同時從地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/小時，乙的路線是ABCD，速度為v千米/小時．

（1）若甲、乙兩管理員到達D的時間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；

（2）已知對講機有效通話的最大距離是5千米．若乙先到達D，且乙從A到D的過程中始終能用對講機與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍．

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