Question

【題目】已知橢圓的長軸長為4，離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過作動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，為平面上一點(diǎn)，直線的斜率分別為，且滿足，問點(diǎn)是否在某定直線上運(yùn)動(dòng)，若存在，求出該直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)長軸長為4，離心率為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、即可得結(jié)果；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線與橢圓交于，設(shè)，將代入，得，，得，結(jié)合韋達(dá)定理可得，從而可得結(jié)果.

（1）依題意，，而，

從而橢圓的方程為．

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線與橢圓交于，

設(shè)，將代入，得，顯然．

，由已知條件，得，

即，將代入，整理得：

，而 ,所以，

即：，，

即．

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．

綜上，點(diǎn)的軌跡方程為：．