Question

（2009•聊城二模）已知函數(shù)f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（3）求證：對于任意的n∈N*，且n＞1時(shí)，都有l(wèi)nn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

成立．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f^′（x），由題意可知：當(dāng)x≥1時(shí)，f^′（x）≥0恒成立，解出a的取值范圍即可．
（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)及利用（1）需要對a進(jìn)行分類討論即可．
（3）利用（1）的結(jié)論，只要令a=1，x=

n+1

n

即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數(shù)，
∴f′(x)=

1

x

-

1

ax2

=

x- 1 a

x2

．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，f^′（x）≥0恒成立，即

1

a

≤x（a＞0），x∈[1，+∞）恒成立?

1

a

≤[x]min，（a＞0）x∈[1，+∞）?

1

a

≤1（a＞0）．
解得a≥1．即為所求的取值范圍．
（2）（i）由（1）可知：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，且f（1）=0．
（ii）當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，

1

a

≥2，∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f^′（x）≤0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，且f（2）=ln2-

1

2a

．
（iii）當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，1＜

1

a

＜2．
令f^′（x）=0，則x=

1

a

．
當(dāng)1＜x＜

1

a

時(shí)，f^′（x）＜0；當(dāng)

1

a

＜x＜2時(shí)，f^′（x）＞0．
∴當(dāng)x=

1

a

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，因?yàn)樵趨^(qū)間[1，2]內(nèi)只有一個極小值，所以也即最小值，∴最小值為f(

1

a

)=1-

1

a

-lna．
（3）由（1）可知：令a=1，則函數(shù)f（x）=lnx+

1-x

x

在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．
再令x=

n+1

n

，f(1+

1

n

)＞f(1)，而f(1+

1

n

)=ln

n+1

n

-

1

n+1

，f（1）=0，
∴ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

．
∴l(xiāng)nn=（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[lnn-ln（n-1）]＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
即lnn＞

1

2

+

1

3

+…

1

n

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及證明不等式，充分理解導(dǎo)數(shù)的意義及掌握恰當(dāng)分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．