Question

如圖，正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，點(diǎn)在棱上．

（1） 若，求證：直線平面；

（2）是否存在點(diǎn)， 使平面⊥平面，若存在，請確定點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由；

（3）請指出點(diǎn)的位置，使二面角平面角的大小為．

Answer 1

（1）略（2）不存在（3）點(diǎn)在棱上且

解析:

（1）證：連接交于點(diǎn)，             ……（1分）

在平行四邊形中，

有，又                                           ……（2分）

∴為的中位線，從而，                         

又平面∴直線平面；                           ……（3分）

（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)，使平面⊥平面，

過點(diǎn)作于，則平面，

又過作于，則平面，                    ……（5分）

而過平面外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直，故、應(yīng)重合于點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)有，故，

又點(diǎn)在棱上，故，

顯然矛盾，故不存在這樣的點(diǎn)，使平面⊥平面．          ……（7分）

（3）解：連接，過作于．由（2）中的作法可知

為二面角平面角，                                 ……（8分）

設(shè)，則，   

則可得，，

，                                   ……（10分）

∴．∴