【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ
(2)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.
【答案】
(1)證明:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),線段DA的長為單位長,射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz;
依題意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0);
則 =(1,1,0), =(0,0,1), =(1,﹣1,0),
所以 =0, =0;
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,
故PQ⊥平面DCQ,
又PQ平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ;
(2)解:依題意,有B(1,0,1),
=(1,0,0), =(﹣1,2,﹣1);
設(shè) =(x,y,z)是平面的PBC法向量,
則 即 ,
因此可取 =(0,﹣1,﹣2);
設(shè) 是平面PBQ的法向量,則 ,
可取 =(1,1,1),
所以cos< , >=﹣ ,
故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值為﹣ .
【解析】首先根據(jù)題意以D為坐標(biāo)原點(diǎn),線段DA的長為單位長,射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz;(1)根據(jù)坐標(biāo)系,求出 、 、 的坐標(biāo),由向量積的運(yùn)算易得 =0, =0;進(jìn)而可得PQ⊥DQ,PQ⊥DC,由面面垂直的判定方法,可得證明;(2)依題意結(jié)合坐標(biāo)系,可得B、 、 的坐標(biāo),進(jìn)而求出平面的PBC的法向量 與平面PBQ法向量 ,進(jìn)而求出cos< , >,根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系,可得答案.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平面與平面垂直的判定和向量語言表述面面的垂直、平行關(guān)系,掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直;若平面的法向量為,平面的法向量為,要證∥,只需證∥,即證;要證,只需證,即證即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=ax2+(a﹣2)x﹣2(a∈R).
(1)解關(guān)于x的不等式f(x)≥0;
(2)若a>0,當(dāng)﹣1≤x≤1時,f(x)≤0時恒成立,求a的取值范圍.
(3)若當(dāng)﹣1<a<1時,f(x)>0時恒成立,求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)已知某橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)P( , ),求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知某橢圓過點(diǎn)( ,﹣1),(﹣1, ),求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)生在一門功課的22次考試中,所得分?jǐn)?shù)莖葉圖如圖所示,則此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為( )
A.117
B.118
C.118.5
D.119.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年6月22 日,“國際教育信息化大會”在山東青島開幕.為了解哪些人更關(guān)注“國際教育信息化大會”,某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查,并按年齡繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,其分組區(qū)間為: .把年齡落在區(qū)間和 內(nèi)的人分別稱為 “青少年”和“中老年”.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求樣本的中位數(shù)(保留兩位小數(shù))和眾數(shù);
(2)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“中老年”比“青少年”更加關(guān)注“國際教育信息化大會”;
附:參考公式,其中.
臨界值表:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若f(x+1)的定義域?yàn)閇0,1],則函數(shù)f(2x﹣2)的定義域?yàn)椋?/span> )
A.[log23,2]
B.[0,1]
C.
D.[0,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC滿足| |=3,| |=4,O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿足| |=| |=| |,且 =λ + (λ∈R),則cos∠BAC= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界. 已知函數(shù)f(x)=1+a( )x+( )x;g(x)=
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)值域并說明函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上是否為有界函數(shù)?
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)已知m>﹣1,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直.EF∥AC,AB= ,CE=EF=1. (Ⅰ)求證:AF∥平面BDE;
(Ⅱ)求證:CF⊥平面BDE.
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