Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）若當時， ，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析: (1)由已知條件求出,由點斜式求出切線方程; (2)構(gòu)造函數(shù) ,由 ,通過轉(zhuǎn)化為證明 在 上為增函數(shù),求出的范圍.

試題解析:（Ⅰ）當時， ，

則，所以，

又，所以曲線在處的切線方程為.，即.

（Ⅱ）由得，而，

所以，設(shè)函數(shù)，

于是問題 轉(zhuǎn)化為，對任意的恒成立.

注意到，所以若，則單調(diào)遞增，

從而.而，

所以等價于，

分離參數(shù)得，

由均值不等式可得，

當且僅當時等號成立，于是.

當時，設(shè)，

因為，又拋物線開口向上，

所以函數(shù)有兩個零點，

設(shè)兩個零點為，則，

于是當時， ，故，所以單調(diào)遞減，故，這與題設(shè)矛盾，不合題意.

綜上， 的取值范圍是.

點睛:本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值,屬于中檔題.在(1)中,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)在某一點處切線的斜率,所以本題求切線方程是容易題;在(2)中,注意等價轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上為增函數(shù),分離出參數(shù),求 的最大值.得到的范圍.