Question

已知函數(shù)y=f（x）=4^x-a•2^x+1+1（a∈R），x∈[0，2]，求y=f（x）的最小值．（用a表示）

Answer 1

解：f（x）=4^x-a•2^x+1+1=（2^x）²-2a•2^x+1，
令t=2^x，因為x∈[0，2]，所以t∈[1，4]，
所以y=g（t）=t²-2at+1（1≤t≤4），
對稱軸為t=a，
①當a＜1時，y=g（t）在[1，4]上單調(diào)遞增，故y_min=g（1）=1-2a+1=2-2a；
②當1≤a≤4時，y=（t-a）²+1-a²，；
③當a＞4時，y=g（t）在[1，4]上單調(diào)遞減，y_min=g（4）=16-8a+1=17-8a；
綜上所述，．
分析：令t=2^x，則可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=g（t）=t²-2at+1（1≤t≤4），對a進行分類討論即可解得．
點評：通過換元，對原函數(shù)進行變形，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題是解決本題的關(guān)鍵所在．