已知函數(shù)f（x）＝－x3＋ax2＋b（a、b∈R）。

（1）若a＝1，函數(shù)f（x）的圖象能否總在直線y＝b的下方？請說明理由；

（2）若函數(shù)f（x）在［0，2］上是增函數(shù)，x＝2是方程f（x）＝0的一個根，

求證：f（1）≤－2；

（3）若函數(shù)f（x）圖象上任意不同的兩點間連線斜率都小于1，求實數(shù)a的取值范圍。

 

答案：
解析：

（1）解：不能。取x＝－1，則f（－1）＝1＋1＋b＞b，即存在點（－1，2＋b）在函數(shù)圖象上，且在直線y＝b的上方。

（2）證明：由x＝2是方程f（x）＝0的一個根，得f（2）＝－8＋4a＋b＝0，即b＝8－4a。

又f’（x）＝－3x2＋2ax，令f′（x）＝0，得－3x＋2ax＝0，解得x1＝0，x2＝，又函數(shù)f（x）在［0，2］上是增函數(shù)。∴ x2＝≥2，即a≥3。

∴ f（1）＝－1＋a＋b＝－1＋a＋8－4a＝7－3a≤－2。

（3）解：設(shè)任意不同的兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）且x1≠x2，則＜1。

∴ ＜1。∴ ＜1。

∴ a（x2＋x1）－（x22＋x12＋x1x2）＜1�！� －x12＋（a－x22＋ax2－1＜0。

∵ x∈R，    ∴ △＝（a－x2）2＋4（－x22＋ax2－1）＜0。

∴ －3x22＋2ax2＋a2－4＜0。    ∴ －3（x2－）2＋＋a2－4＜0。

∴ －4＜0�！� a2＜3。    ∴ －＜a＜。

 

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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（08年上虞市質(zhì)檢一文） 已知函數(shù)f（x）＝ax4＋bx2＋c的圖象經(jīng)過點（0，2），且在x＝1處的切線方程

是y＝－4x＋．

（Ⅰ）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；       

    （Ⅱ）求函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間［－4，1］上的最值．   

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（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

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已知函數(shù)f（x）＝，若f（x）存在零點，則實數(shù)a的取值范圍

 

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