Question

設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，其中.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求及數(shù)列的最大項(xiàng).

Answer 1

（1）；（2），最大項(xiàng)是.

試題分析：（1）根據(jù)題意可知，考慮到當(dāng)時(shí)，，因此可以結(jié)合條件消去得到數(shù)列的地推公式：當(dāng)時(shí)，，
∴，∴，容易驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，上述關(guān)系式也成立，從而數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，即有；（2）根據(jù)（1）中求得的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件，因此可以考慮采用裂項(xiàng)相消法來求其前項(xiàng)和：

     ，利用作差法來考察數(shù)列的單調(diào)性，可知當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，也有，但；當(dāng)時(shí)，，，即，因此最大項(xiàng)即為.
試題解析：（1）由、、成等差數(shù)列知，                1分
當(dāng)時(shí)，，∴，
∴，                             4分
當(dāng)時(shí)，由得，                        5分
綜上知，對(duì)任何,都有,又，∴，.     6分
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴；          7分
(2)，    10分
     ，                      12分
，
當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，也有，但；當(dāng)時(shí)，，，即，∴數(shù)列的的最大項(xiàng)是.                                   15分