Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足且構(gòu)成等比數(shù)列．(1) 證明:；(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3) 證明:對(duì)一切正整數(shù),有.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

試題分析：（1）對(duì)于取n=1，可得到與的關(guān)系，即可證得；（2）當(dāng)時(shí)，有，可得到的與的關(guān)系式，從而可知等差數(shù)列的公差，又由構(gòu)成等比數(shù)列，從而可求出基本量，即可寫出其通項(xiàng)公式；（3）裂項(xiàng)：，以下用裂項(xiàng)相消法，即可化簡(jiǎn)題中左式，從而證得不等式.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，；
（2）當(dāng)時(shí)，，；,，
當(dāng)時(shí)，是公差的等差數(shù)列．構(gòu)成等比數(shù)列，，，解得,由（1）可知，，是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列．數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（3）與的關(guān)系：，等差數(shù)列的定義，等比中項(xiàng)，裂項(xiàng)相消求和法，特殊到一般思想，化歸思想.