Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.數(shù)列滿足:.
(1)求的通項(xiàng).并比較與的大小;
(2)求證:.

Answer 1

(1) .。
(2)首先我們證明當(dāng)時(shí),
事實(shí)上,記. ∵
由(1)時(shí),. ∴. 而.
∴當(dāng)時(shí),即. 從而.

試題分析：(1)由  ①  當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí), ② 由①-②有. ∵
∴是2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. 從而.
設(shè)
∵. ∴時(shí), . 當(dāng)時(shí),
又. ∴當(dāng)時(shí),即.
當(dāng)時(shí),顯見
(2)首先我們證明當(dāng)時(shí),
事實(shí)上,記. ∵
由(1)時(shí),. ∴. 而.
∴當(dāng)時(shí),即. 從而.
當(dāng)時(shí),不等式的
左



容易驗(yàn)證當(dāng)時(shí),不等式也顯然成立.
從而對(duì),所證不等式均成立.
點(diǎn)評(píng)：典型題，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般地，通過(guò)布列方程組，求相關(guān)元素。涉及數(shù)列不等式的證明問(wèn)題，“放縮、求和、證明”和“數(shù)學(xué)歸納法”等證明方法，能拓寬學(xué)生的視野。