某中學(xué)校園內(nèi)原有一塊四分之一圓面形狀的草坪AMN（圖1），其中AM=AN=8m，∠MAN=90°．今年暑假整治校園環(huán)境時，為美觀起見，學(xué)校設(shè)計將原有草坪擴(kuò)大，具體實施方案是：從圓弧上一點P作圓弧的切線BD，分別與AM，AN的延長線交于B，D，并以AB，AD為鄰邊構(gòu)造矩形ABCD，再以C為圓心制作一塊與AMN形狀相同的草坪，構(gòu)成矩形綠地ABCD（圖2）．
（1）求矩形綠地ABCD占地面積的最小值；
（2）若由于地形條件限制，使得矩形一邊AB的長度不能超過10m，求此時矩形綠地ABCD占地面積的最小值．
考點：扇形面積公式,基本不等式
專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）設(shè)AB=xm，AD=ym，則xy=8
x2+y2
，利用基本不等式，可得結(jié)論；
（2）xy=
8x2
x2-64
，令f（x）=
64x4
x2-64
，則函數(shù)單調(diào)遞減，即可求出矩形綠地ABCD占地面積的最小值．
解答： 解：（1）設(shè)AB=xm，AD=ym，則xy=8
x2+y2
≥8
2xy
，
∴xy≥128，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，矩形綠地ABCD占地面積的最小值為128m2；
（2）由（1）知y=
8x
x2-64
（0＜x≤10），則xy=
8x2
x2-64
，
令f（x）=
64x4
x2-64
，∴f′（x）=
128x3(x2-128)
(x2-64)2

∵0＜x≤10，∴函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=10m時，矩形綠地ABCD占地面積的最小值為
400
3
m2．
點評：本題考查基本不等式的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

復(fù)數(shù)
2i
1+i
（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面所對應(yīng)的點位于的象限（　　）
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，向量
α
=（cos
A-B
2
，
3
sin
A+B
2
），|
α
|=
2
．如果當(dāng)C最大時，存在動點M，使得|
MA
|，|
AB
|，|
MB
|成等差數(shù)列，則
|
MC
|
|
AB
|
最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
cos2x
sin(x+
π
4
)
的定義域為D，集合A=[-π，π]．
（Ⅰ）求D∩A；
（Ⅱ）若f（x）=
4
3
，求sin2x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為sn，a1=1，當(dāng)n∈N+有an+1=
Sn
n
+n+1．
（1）求{an}的通項公式
（2）記bn=
1
an
，求證：b1+b2+…+bn≤
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=-lnx，g（x）=
1
x
-1（x＞0）
（Ⅰ）求F（x）=f（x）-g（x）的極值，并證明：若x1，x2∈（0，+∞）有f（x2）-f（x1）≥f′（x1）（x2-x1）
（Ⅱ）設(shè)λ1，λ2＞0，且λ1+λ2=1，x1＞0，x2＞0，證明：λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）．若λi＞0，xi＞0，（i=1，2，…n），由上述結(jié)論猜想一個一般性結(jié)論（不需證明）．
（Ⅲ）證明：若ai＞0（i=1，2，…n），則a1 a1a2 a2…an an≥(
a1+a2+…+an
n
)a1+a2+…+an．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，
tanB
tanC
=
2a-c
c
．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=sinx•cos（x+B）+
3
4
（x∈[0，
π
2
]）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-12x
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)x∈[-3，3]時，求f（x）的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，若k＜
2c-b
2a
對任意的a，b，c恒成立，則
k2-2k+3
1-k
的最小值為
 
．

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同步練習(xí)冊答案