Question

如圖，某工廠生產(chǎn)的一種無(wú)蓋紙筒為圓錐形，現(xiàn)一客戶訂制該圓錐紙筒，并要求該圓錐紙筒的容積為π立方分米．設(shè)圓錐紙筒底面半徑為r分米，高為h分米．
（1）求出r與h滿足的關(guān)系式；
（2）工廠要求制作該紙筒的材料最省，求最省時(shí)

h

r

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)圓錐紙筒的容積為V，則V=

1

3

πr2h，由該圓錐紙筒的容積為π，利用π=

1

3

πr2h，即可得出；
（2）工廠要求制作該紙筒的材料最省，即所用材料的面積最小，即要該圓錐的側(cè)面積最小，設(shè)該紙筒的側(cè)面積為S，則S=πrl，其中l(wèi)為圓錐的母線長(zhǎng)，且l=

r2+h2

，S=πr

r2+h2

=π

( 3 h +h2)× 3 h

（h＞0），設(shè)f（h）=(

3

h

+h2)×

3

h

=

9

h2

+3h （h＞0 ），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)圓錐紙筒的容積為V，則V=

1

3

πr2h，
由該圓錐紙筒的容積為π，則π=

1

3

πr2h，即r²h=3，
故r與h滿足的關(guān)系式為r²h=3；
（2）工廠要求制作該紙筒的材料最省，即所用材料的面積最小，即要該圓錐的側(cè)面積最小，
設(shè)該紙筒的側(cè)面積為S，則S=πrl，其中l(wèi)為圓錐的母線長(zhǎng)，且l=

r2+h2

，
∴S=πr

r2+h2

=π

( 3 h +h2)× 3 h

（h＞0），
設(shè)f（h）=(

3

h

+h2)×

3

h

=

9

h2

+3h （h＞0 ），
由f′(h)=-

18

h3

+3=0，解得h=

3	6

，
當(dāng)0＜h＜

3	6

時(shí)，f′（h）＜0；當(dāng)h＞

3	6

時(shí)，f′（h）＞0；
因此，h=

3	6

時(shí)f（h）取得極小值，且是最小值，此時(shí)S=π

f(h)

亦最小；
由r²h=3得

h

r

=

h2 r2

=

h3 3

=

2

，
∴最省時(shí)

h

r

的值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、圓錐的體積與側(cè)面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．