Question

如圖，四邊形是正方形，，，， ．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若與所成的角為，求二面角的余弦值．

Answer 1

①見解析②

試題分析：（I）要證面面垂直,只要證明線面垂直,只要證明線線垂直:即找到直線（II）由于選取 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,由于底面直角梯形只有上下底邊的關(guān)系,直角腰邊長 需要用 成 角這個等式確定的,進(jìn)一步計算出多面體頂點(diǎn)坐標(biāo),利用空間向量計算出兩個平面的法向量,再求二面角的余弦值.
試題解析：（I）平面，且平面，
，
又是正方形，，而梯形中與相交，
平面，
又平面，
平面平面             4分

（II）平面，則，，
又，，，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，依次為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，.
則，，，
，　  ．6分
，，　
由與所成的角為，
得
解得．    ．8分
 ，，
求得平面的一個法向量是
；    ．．9分
，，
求得平面的一個法向量是；    ．．10分
則，    ．．11分
故二面角的余弦值為     ．12分
（其他做法參照給分）