Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設不過原點O的直線l與橢圓C交于兩點M、N，且直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數列，求△OMN面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得2a=2×2b，，再由c²=a²-b²可解得a，b；
（2）設直線l的方程為：y=kx+m（k≠0，m≠0），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數列，得，變形后代入韋達定理可求出k值，由△＞0 得m的范圍，利用三角形面積公式表示出面積，根據m的范圍可得答案；
解答：解析：（1）由已知得解得，
所以橢圓C的方程：；
（2）由題意可設直線l的方程為：y=kx+m（k≠0，m≠0），
聯立 消去y并整理，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
則△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
此時設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則，，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=，
又直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數列，
∴=k²⇒-=0，
由m≠0得：⇒k=．
又由△＞0 得：0＜m²＜2，顯然m²≠1（否則：x₁x₂=0，則x₁，x₂中至少有一個為0，直線OM、ON中至少有一個斜率不存在，矛盾�。�
設原點O到直線l的距離為d，則
×=|m|=，
故由m得取值范圍可得△OMN面積的取值范圍為（0，1）．
點評：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關系，考查三角形的面積公式，考查學生分析解決問題的能力．