(13分)已知橢圓C:(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經(jīng)過點(diǎn).
(I)求橢圓C的離心率:
(II)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn),且,求點(diǎn)Q的軌跡方程.
(I)(II)點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y﹣2)2﹣3x2=18,其中x∈(﹣,),y∈(,2﹣)
【解析】(I)∵橢圓C:(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經(jīng)過點(diǎn).
∴c=1,2a=PF1+PF2==2,即a=
∴橢圓的離心率e===…4分
(II)由(I)知,橢圓C的方程為,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)
(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線l與橢圓C交于(0,1)、(0,﹣1)兩點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,2﹣)
(2)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),可設(shè)其方程為y=kx+2,
因?yàn)镸,N在直線l上,可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),則
,,又|AQ|2=(1+k2)x2,
∴,即=…①
將y=kx+2代入中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0…②
由△=(8k)2﹣24(2k2+1)>0,得k2>
由②知x1+x2=,x1x2=,代入①中化簡(jiǎn)得x2=…③
因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上,所以k=,代入③中并化簡(jiǎn)得10(y﹣2)2﹣3x2=18
由③及k2>可知0<x<,即x∈(﹣,0)∪(0,)
由題意,Q(x,y)在橢圓C內(nèi),所以﹣1≤y≤1,
又由10(y﹣2)2﹣3x2=18得(y﹣2)2∈[,)且﹣1≤y≤1,則y∈(,2﹣)
所以,點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y﹣2)2﹣3x2=18,其中x∈(﹣,),y∈(,2﹣)…13分
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(12分)已知橢圓C:(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為,直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N.
①求橢圓C的方程.
②當(dāng)⊿AMN的面積為時(shí),求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年江西省高三第七次月考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
已知橢圓C:+=1(a>b>0),直線y=x+與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切,F(xiàn)1,F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn),P為橢圓C上任一點(diǎn),△F1PF2的重心為G,內(nèi)心為I,且IG∥F1F2。⑴求橢圓C的方程。⑵若直線L:y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A,B且線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)C(,0)求實(shí)數(shù)k的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年浙江省高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)文卷 題型:選擇題
已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,過右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),若。則 ( )
(A)1 (B)2 (C) (D)
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