Question

已知x，y∈R，滿足2≤y≤4-x，x≥1，則

x2+y2+2x-2y+2

xy-x+y-1

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,直線與圓

分析：把原式化簡(jiǎn)可得

x+1

y-1

+

y-1

x+1

，利用可行域和斜率計(jì)算公式可得

y-1

x+1

的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)即可得出最大值．

解答： 解：由x，y滿足2≤y≤4-x，x≥1，
畫(huà)出可行域如圖所示．
則A（2，2），B（1，3）．

x2+y2+2x-2y+2

xy-x+y-1

=

(x+1)2+(y-1)2

(x+1)(y-1)

=

x+1

y-1

+

y-1

x+1

，
令k=

y-1

x+1

，
則k表示可行域內(nèi)的任意點(diǎn)Q（x，y）與點(diǎn)P（-1，1）的斜率．
而k_PA=

2-1

2-(-1)

=

1

3

，kPB=

3-1

1-(-1)

=1，
∴

1

3

≤k≤1，
令f（k）=k+

1

k

，
則f′(k)=1-

1

k2

=

k2-1

k2

≤0．
∴函數(shù)f（k）單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=

1

3

時(shí)，f（k）取得最大值，f(

1

3

)=

1

3

+3=

10

3

．
故答案為：

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線性規(guī)劃的可行域和斜率計(jì)算公式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．