Question

若函數(shù)f（x）=

x

x+2

（x＞0），且f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，當(dāng)n∈N^*且n≥2時(shí)，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，猜想f_n（x）（n∈N^*）的表達(dá)式

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：操作型,推理和證明

分析：由已知f（x）=

x

x+2

（x＞0），且f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，則易得f₂（x）、f₃（x）的表達(dá)式，根據(jù)三個(gè)表達(dá)式，我們歸納出變化規(guī)律，進(jìn)而推斷出f_n（x）（n∈N^*）的表達(dá)式．

解答： 解：∵f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，當(dāng)n∈N^*且n≥2時(shí)，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，
∴f₂（x）=f[f₁（x）]=

f1(x)

f1(x)+2

=

x x+2

x x+2 +2

=

x

3x+4

，f₃（x）=f[f₂（x）]=

x 3x+4

x 3x+4 +2

=

x

7x+8

，
猜想f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

．
故答案為：f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

．

點(diǎn)評(píng)：猜想是課改的一個(gè)亮點(diǎn)，也是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn)．歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．