已知函數(shù)的定義域為,且同時滿足以下三個條件:①;②對任意的,都有;③當時總有.
(1)試求的值;
(2)求的最大值;
(3)證明:當時,恒有.
(1);(2);(3).

試題分析:(1)抽象函數(shù)求在特殊點的值,一般用賦值法,令代入抽象函數(shù)可得,又因為,可得.(2)在定義域內(nèi)求抽象函數(shù)最值,一般先判斷函數(shù)單調(diào)性,再求比較定義域端點的函數(shù)值和極值點的大小.證明單調(diào)性可令,代入得進而得函數(shù)為增函數(shù),最大值為;
(3)在上證不等式,要分兩段、.在,所以.在,,所以,進而得證.
試題解析:(1)令則有,所以有,有根據(jù)條件?可知,故.(也可令
方法一:設,則有,即為增函數(shù)(嚴格來講為不減函數(shù)),所以,故.
方法二:不妨令,所以由?,即增函數(shù)(嚴格來講為不減函數(shù)),所以,故.
(3)當,有,又由?可知,所以有對任意的恒成立.當,又由?可知,所以有對任意的恒成立.綜上,對任意的時,恒有.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

湖北省第十四屆運動會紀念章委托某專營店銷售,每枚進價5元,同時每銷售一枚這種紀念章需向荊州籌委會交特許經(jīng)營管理費2元,預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元則增加銷售400枚,而每增加一元則減少銷售100枚,現(xiàn)設每枚紀念章的銷售價格為元,為整數(shù).
(1)寫出該專營店一年內(nèi)銷售這種紀念章所獲利潤(元)與每枚紀念章的銷售價格(元)的函數(shù)關系式(并寫出這個函數(shù)的定義域);
(2)當每枚紀念章銷售價格為多少元時,該特許專營店一年內(nèi)利潤(元)最大,并求出最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)=,=,若曲線和曲線都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線.
(Ⅰ)求,,,的值;
(Ⅱ)若時,,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)證明:對任意實數(shù),函數(shù)的圖像與直線最多只有一個交點;
(3)設若函數(shù)的圖像有且只有一個公共點,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

為了降低能損耗,最近上海對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能消耗費用為8萬元.設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能消耗費用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達式;
(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

函數(shù)的零點所在區(qū)間是(      )
A.(B.(C.(,1)D.(1,2)

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù) 則下列關于函數(shù)的零點個數(shù)的判斷正確的是(   )
A.當時,有3個零點;當時,有2個零點
B.當時,有4個零點;當時,有1個零點
C.無論為何值,均有2個零點
D.無論為何值,均有4個零點

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

函數(shù)的定義域為D,若存在閉區(qū)間[a,b]D,使得函數(shù)滿足:(1)在[a,b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);(2)在[a,b]上的值域為[2a,2b],則稱區(qū)間[a,b]為y=的“美麗區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“美麗區(qū)間”的是          . (只需填符合題意的函數(shù)序號) 
①、;        ②、
③、;        ④、.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

定義區(qū)間,,的長度均為. 用表示不超過的最大整數(shù),記,其中.設,,若用表示不等式解集區(qū)間的長度,則當時,有(     )
A.B.C.D.

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